RStudio
Die Standard-Anordnung ist etwas anders und das Standard-Thema ist hell. Beides kann in den Einstellungen geändert werden.
Etwa so sieht ein RStudio-Fenster aus:
- In der Console können wir R-Befehle ausführen. Beispielsweise können wir
1+1eintippen und mit Enter bestätigen. - Im Environment finden wir alle aktuell definierten Variablen und Datensätze.
- Unter Plots werden produzierte Grafiken angezeigt.
- Unter Help können wir die Dokumentation aufrufen.
- Im großen Feld links können wir ein Skript öffnen.
Skript vs. Console
- Mit einem Skript können wir verschiedene Zeilen Code speichern und immer dann ausführen, wenn wir sie benötigen.
- Wir können Code auch direkt aus der Console ausführen, dann können wir ihn aber nicht speichern.
- Im Skript können wir den Cursor in eine Zeile setzen und diese Zeile mit Strg+Enter (Linux, Windows) bzw. cmd+Enter (macOS) ausführen. Er wird dann sozusagen in die Console „eingefügt“.
- Alternativ können wir mehrere Zeilen markieren und ausführen, oder das ganze Skript auf einmal ausführen.
Dimensionen und Transposition
In der vorangegangenen Folie hatte \(\boldsymbol{X}\) die Dimensionen \(n\times k\) und \(\boldsymbol{x}\) hatte die Dimension \(n\). \(\boldsymbol{x}\) war als Spaltenvektor angeschrieben, wir können \(\boldsymbol{x}\) aber auch als Zeilenvektor anschreiben. Dafür müssen wir den Vektor transponieren: Vereinfacht gesagt werden aus Zeilen Spalten und aus Spalten Zeilen. Wir notieren die Transposition mit einem kleinen Strich (man kann aber auch ein hochgestelltes T verwenden):
\[ \boldsymbol{x}' = (x_1, x_2, \dots, x_n) \]
Wir können auch Matrizen transponieren. Eine Matrix, die zuvor die Dimensionen \(n\times k\) hatte, hat nach der Transposition die Dimensionsn \(k\times n\).
Wenn wir eine transponierte Matrix wieder transponieren, erhalten wir:
\[ (\boldsymbol{X}')' = \boldsymbol{X} \]
Darüber hinaus gilt: \((\boldsymbol{XZ})'=\textcolor{red}{\boldsymbol{Z}'\boldsymbol{X}'}\).
Diskrete Zufallsvariablen
Eine diskrete Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche oder abzählbar unendliche Anzahl möglicher Ergebnisse haben kann. Wenn die Variable \(X\) genannt wird, bezeichnen wir die Ergebnisse mit \(x_i\) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit \(p_i\). Beachte, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(\sum_i p_i\) gleich 1 sein muss.
Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable wäre das Werfen von zwei Würfeln. Die möglichen Ergebnisse sind \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind \(\{\tfrac{1}{36},\tfrac{2}{36},\tfrac{3}{36},\tfrac{4}{36},\tfrac{5}{36},\tfrac{6}{36},\tfrac{5}{36},\tfrac{4}{36},\tfrac{3}{36},\tfrac{2}{36},\tfrac{1}{36}\}\). Rechts ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion (engl. probability mass function, PMF) dargestellt:
Eine Bernoulli-Variable ist eine diskrete Zufallsvariable, die nur zwei Ergebnisse annehmen kann, wie etwa ein Münzwurf.
Stetige Zufallsvariablen (2)
Ein Beispiel für eine solche Variable wäre die Körpergröße einer Person. Es wäre sinnlos, nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, dass eine Person genau 1,734681092536 Meter groß ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist null. Aber wir können uns die PDF ansehen und bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass die Körpergröße der Person zwischen 1.73 und 1.74 Meter liegt:
Ob eine unendliche Menge von Zahlen abzählbar oder überabzählbar unendlich ist, kann intuitiv beantwortet werden. Alle natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) sind abzählbar unendlich. Wir können klar einen Weg vorgeben, wie man sie zählt (beginne bei 0, dann 1, dann 2, dann 3, …), wir wissen nur nicht, wo und wann der Weg endet. Schließlich ist er immer noch unendlich lang. Alle reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) sind jedoch überabzählbar unendlich. Wir können keinen eindeutigen Weg bestimmen, der alle Zahlen erreicht. Angenommen, wir beginnen bei 0, dann 0.001 was ist mit allen Zahlen dazwischen? Und allen Zahlen zwischen diesen Zahlen? Es gibt keinen Weg, sie alle zu zählen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion
Zusätzlich zur Wahrscheinlichkeits-dichtefunktion können wir die Verteilungsfunktion (engl. cumulative distribution function, CDF) zeichnen. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Ergebnis gleich oder kleiner als ein bestimmter Wert ist. Die Funktion ist streng monoton steigend:
Die gestrichelte Linie zeigt, wie wir den Plot lesen: Der Wert der Dichtefunktion bei \(X=1.74\) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass eine zufällig ausgewählte Person kleiner oder genau 1.74 Meter groß ist.
